Diseño de la estrategia

Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas

Informe del Proyecto de Aula para la asignatura Construcción de los números, 2016-1

Es un trabajo dirigido a la formación docente desde los aspectos pedagógico y didáctico de las matemáticas.

Blog realizado por: John Edward González G.

Estudiante Universidad Santo Tomás, Bogotá.

Operaciones de los conjuntos: bases en un contexto social.

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Este blog pretende mostrar la experiencia de aula en la práctica social del profesor de matemáticas en Bogotá; es un trabajo realizado para hacer una reflexión pedagógica de nuestro rol como docentes, y del trabajo didáctico (enseñanza y aprendizaje) en saberes matemáticos.

El tema de las Operaciones básicas de conjuntos es interesante porque modela problemas de la vida cotidiana y permite un proceso de comprensión de las operaciones matemáticas básicas. El diseño didáctico de esta estrategia está enfocado en entender los conjuntos matemáticos a partir de las relaciones con las comunidades humanas, su integración, las maneras en que se agrupan y se distribuyen; en una frase, se pretende asimilar la convivencia humana y el aprendizaje de las operaciones de los conjuntos en una actividad transdisciplinar.

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Las y los estudiantes que comprenden que las dinámicas sociales incluyen diversos tipos de grupos y de subdivisiones de ellos, y que se puede modelar este comportamiento con operaciones sobre los conjuntos, serán capaces de aprender que las matemáticas están presentes en cualquier contexto de nuestra sociedad, y que son útiles para resolver cualquier tipo de problema; así no generarán resistencia para su aprendizaje.

Por su parte, para maestras y maestros, el valor contextual de los conceptos de operaciones de conjuntos está en añadir mayor riqueza a la construcción de los números en la mente de sus estudiantes; ser guías en los procesos para la resolución de problemas (no solo matemáticos sino sociales y culturales), y enseñar distintos métodos para que los alumnos reconozcan cuando hay un problema, cómo utilizar las operaciones, cuáles son las apropiadas y por qué.

Un factor que debe impactar a la sociedad cuando se sensibiliza a partir de las matemáticas es la reflexión la discriminación en el país, en especial en Colombia con tanta diversidad presente; los procesos de integración, fraternidad y solidaridad, junto con la aceptación de las diferencias y la comprensión de la alteridad, se puede lograr desde un aula de matemáticas.

Llegando al tema central de esta estrategia, veamos un mapa de dependencias entre los conceptos matemáticos relacionados con las Operaciones de los conjuntos:

Figura 1

Ahora, desde el punto de vista de los Lineamientos Curriculares de Matemáticas, expondremos los tipos de pensamiento matemático que ocurren con las operaciones de los conjuntos, desde sus varias perspectivas:

Figura 2

Y los procesos de pensamiento que están involucrados en la realización de las operaciones de los conjuntos son:

Figura 3

La síntesis de la base teórica del diseño de esta estrategia pedagógica es que las operaciones de conjuntos deben influir en las y los estudiantes con el fin de desarrollar sus propias destrezas para solucionar problemas aritméticos, pero también cotidianos de su vida, mediante el encuentro de las relaciones que existen las agrupaciones humanas y el contexto en que se pueden aplicar y solucionar en su vida diaria.

Fuente de las imágenes:
1. Diagramas de Venn: http://es.slideshare.net/JArtemioVillegas/teoria-de-conjuntos-28102930
2. Estudiantes: http://www.canstockphoto.es/ilustraci%C3%B3n/estudiantes.html

Planteamiento de la actividad

Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas

En esta sección se presentan las propuestas de enseñanza sobre la comprensión de las operaciones, sus objetivos y la justificación para realizarla, junto con la propuesta evaluativa de esta actividad didáctica.

Operaciones de los conjuntos: bases en un contexto social.

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El tema particular sobre las Operaciones de los conjuntos se vincula a la temática general que se lleva en esa aula, denominada Comprensión lectora y convivencia. Esta es una idea que involucra el pensamiento numérico en el proceso de desarrollo de la comunicación y de la relación social de un grupo de adolescentes del Colegio San Bernardino IED, localidad de Bosa, en Bogotá, Colombia.

Población: estudiantes del Aula de Aceleración del Bachillerato I (grados 6° y 7°); rango de edades entre 14 y 17 años. Son un grupo de estudiantes que estuvieron desescolarizados por algún tiempo; presentan condición de vulnerabilidad a causa de la violencia, desplazamiento, o situaciones económicas familiares.

Esta propuesta de enseñanza desea que comprendan las operaciones de conjuntos (unión, intersección, diferencia y complemento) desde situaciones de la vida real en su colegio, desde ejemplos como la ayuda de la Secretaría de Integración del Distrito en la prestación de sus servicios, y de diversas situaciones comunicativas y prácticas que se pueden presentar en la vida diaria y en los juegos. Además, esta enseñanza apoya la comprensión de las operaciones matemáticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) como base para reconocer representaciones y sentido de las operaciones en un contexto distinto a la representación simbólica matemática.

Objetivos:

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Objetivo general: construir los conceptos de las operaciones de los conjuntos, a partir de diferentes representaciones matemáticas, y sociales para comprender las operaciones básicas.

Objetivo cognoscitivo: identificar y manejar las diversas transformaciones que ocurren en los conjuntos al realizar las operaciones.

Objetivo afectivo-social: modelar y utilizar en diferentes contextos las operaciones de conjuntos para conocer su aplicación en actividades de la vida cotidiana.

Objetivo psicomotriz: crear o manejar objetos y situaciones para la construcción de conjuntos que se puedan manipular o modificar realizando las operaciones.

Plan de actividades:

(No se realizan necesariamente en el orden estricto en el que se presentan, ocurren según la dinámica del grupo en cada sesión.)

Diagnóstico inicial: se ha evidenciado dificultades para la comprensión de las operaciones matemáticas a partir de que no pueden reconocer los significados de las operaciones en contextos  o situaciones concretas.

Actividades de motivación: 

- Dinámica de grupo donde el género, la edad, vivienda y compañía de las y los estudiantes actúa como promotor de las operaciones entre conjuntos (intersección, unión, diferencia y complemento).

- Juego con canicas, para el proceso de construcción de conjuntos, discriminación de similitudes y diferencias, manipulación de los elementos, y operaciones sobre ellos.

Actividades conceptuales:  

- Tomando como base lo social, desde la visión de la Secretaría de Integración, y los casos particulares desde el plan de Aceleración del aprendizaje, del Ministerio de Educación Nacional, mostrar una visión de los conjuntos (grupos) humanos, características y conformación de elementos y las operaciones que se pueden realizar sobre ellos.

- Desde representaciones simbólicas, como los Diagramas de Venn, utilizar el lenguaje humano y matemático para encontrar propiedades de los elementos, conjuntos y subconjuntos, y realizar operaciones sobre todos ellos.

Actividades evaluativas: 

La valoración del aprendizaje se hará de manera diacrónica en todas las actividades; haciendo preguntas orales sobre los distintos encuentros del saber que se vayan teniendo en relación con las actividades de interacción sobre los conjuntos que se hagan (personas, canicas, diagramas, sociales).

Habrá una corta evaluación escrita, donde tengan que analizar y responder mediante representación simbólica, los distintos sentidos que se le pueden hallar a las relaciones de los elementos y las operaciones de conjuntos que se les presenta.

Al final, se harán reflexiones grupales sobre los resultados de las evaluaciones, y se darán algunas guías teóricas y prácticas para el manejo de las operaciones de conjuntos, y su relación con las operaciones básicas matemáticas, su estructura formal y la lingüística en diversos contextos.

Fuentes de las imágenes:
1. Diagrama de Venn: http://es.slideshare.net/JArtemioVillegas/teoria-de-conjuntos-28102930
2. Objetivos: https://www.google.com.co/search?q=tiro+al+blanco
3. Actividades: http://es.slideshare.net/MaraLeticiaOjedaPea1/51921059-pruebasdeconjuntosenmatematicasparaprimaria

Aplicación de la actividad

Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas

Operaciones de los conjuntos: bases en un contexto social.

Vamos a contar los aspectos pedagógicos de este trabajo, en particular, cuáles fueron las actitudes de los estudiantes, sus comentarios, la relación entre ellos y con el docente, y los intereses que se percibieron al participar en esta actividad. De otra parte, se mostrará desde la didáctica, cómo fue su relación con el tema, con los materiales, y su trabajo individual para lograr sus aprendizajes.

Primero, el contexto geográfico y social de esta actividad ocurre en la localidad de Bosa, en Bogotá, un sector con nivel socioeconómico bajo, en uno de los mejores colegios oficiales de esa localidad, por su calidad de la educación y a la formación integral que se trata de brindarles a chicos y chicas, y los esfuerzos que sus directivas y maestros realizan en pro de niños y jóvenes del Colegio San Bernardino.

Se trabaja una actividad extracurricular los sábados en las mañanas, como apoyo en la enseñanza de las matemáticas y de lengua castellana, utilizando como marco didáctico la huerta escolar, el reciclaje, origami, la música, etc. Este grupo en particular, que se llama Comprensión lectora y convivencia, tiene doce (12) estudiantes del Aula de Aceleración I del bachillerato, corresponde a grados 6° y 7°, edades entre 14 y 17 años; hacemos mediación con la música, y se realizó la actividad de Operaciones de conjuntos integrando las matemáticas como apoyo a la comprensión lectora y al proceso de construcción de comunidad a partir del enfoque social del colegio y del barrio.

Aspectos pedagógicos:

Este es un grupo altamente motivado para el trabajo de comprensión lectora que se ha llevado a partir de las canciones, también en los aspectos formales de la enseñanza y motivación de la convivencia a partir de las experiencias de vida de ellos, y de las historias que narran las canciones que les gusta escuchar. Pero al hacer una introducción previa a la actividad de matemáticas que estaba planeando, hubo desazón total: apareció automáticamente ese proceso interno de resistencia a la enseñanza de las matemáticas.

No publicaré las fotos de las caritas que hacen en cualquier contacto con las actividades, pero indican la frustración y negación, de todo el grupo, hacia las matemáticas.

En el diagnóstico inicial, mostrado en la sección anterior, se encontró la baja capacidad para comprender el sentido de los problemas matemáticos con las operaciones básicas, actividad previa a una sobre comprensión de números fraccionarios en sus aspectos de parte/todo, operador, razón, cociente y número que se había planeado para ellos.

Así que se tomó la decisión que, para apoyar la comprensión de las operaciones matemáticas básicas, se desarrollaría una estrategia didáctica con Operaciones de los conjuntos para apoyar esa primera acción didáctica.

A continuación se hará una breve narración de algunos encuentros pedagógicos de las actividades, y después, el trabajo didáctico del maestro y sus estudiantes.

La observación pedagógica de la primera actividad, dar alguna información personal y hacerse en un grupo para esperar ciertas instrucciones para operar como conjunto, evidencia una baja confianza a brindar sus datos; hay algo en su interior que parece les impide tener tranquilidad para decir la verdad sobre cosas tan aparentemente sencillas como su edad, con quiénes viven y gustos deportivos.

Las primeras preguntas sobre lo sucedido en el manejo del conjunto no presenta ningún problema, pero cuando se toca el tema de las operaciones matemáticas de nuevo vuelve la incomprensión: sumas, restas, divisiones bloquean a chicos y chicas. No hay proceso relacional entre las agrupaciones y separaciones como operaciones básicas, integrar un subgrupo o sacarlo de ahí no tiene impacto como operación matemática, sino hasta que se hace evidente con las palabras del maestro.

Luego, para la actividad de desarrollo social de los conjuntos, se les habló un poco de la labor de entidades oficiales como la Secretaría de Integración Social y el Instituto Colombiano de Bienestar Familiar, ICBF, en particular sobre la ayuda que hacen a un grupo específico como son las madres gestantes y lactantes. Se ejemplifica las condiciones para unirse al grupo, quiénes son susceptibles de las ayudas, y hasta cuándo se les brinda el apoyo; además, las "trampas" que se le pueden hacer al sistema con lo del dinero recibido, y como ocurre una reunión en los grupos FAMI del ICBF. La atención se centra principalmente en la "trampa" para recibir doble bonificación. Ese tal vez fue el aspecto al que más importancia se le dio a esta actividad de entender los conjuntos, inclusión e intersección.

La reflexión principal de estos relatos, es que la atención de los chicos está muy dirigida a solos aspectos especiales de su manera de vivir y de entender el proceso económico, relacionado más con lo monetario y de "ser alguien" porque se posee dinero.

Las actividades con las canicas fueron tomadas como espacio para su recreación; no estuvieron juiciosos para armar los grupos, y se pusieron a jugar, excepto una chica que expresó literalmente que "esos son juegos para niños", en el sentido que su género femenino no le permitía jugar con las canicas. Después de una breve charla accedió a jugar un minuto al juego del morro, y se volvió a sentar...

En general, el encuentro pedagógico relevante es que un maestro requiere ponerse en distintas posiciones del pensamiento y actuar de chicas y chicos; por más que se cree que se conoce al grupo, en un cambio de actividades ellos se comportan diferente, y exponen sus prejuicios y creencias negativas sobre lo propuesto en el área de matemáticas.

Otra conclusión es que un maestro de matemáticas no debe presuponer el dominio de saberes por parte de sus estudiantes; a su edad (14-17) aún cuentan con los dedos -que no necesariamente algo malo-, no relacionan bien los conceptos básicos de numeración y operaciones, etc., y cuando el profesor se encuentra con estos casos no debe desentenderse de su responsabilidad de tratar de colaborar de alguna manera para generar estos aprendizajes. Esa será parte de mi siguiente proyecto con ellos.

Aspectos didácticos:

Aquí se hace la reflexión sobre el proceso de enseñanza por parte del maestro, y del proceso de aprendizaje de sus estudiantes, en relación con la planeación, ejecución y evaluación de las actividades; y las relaciones entre maestro y estudiantes, objetivos, contenidos, recursos y metodología.

Para iniciar, recordar que se había previsto una unidad didáctica sobre números fraccionarios, planeada con anticipación, sin un diagnóstico sino con la intención de hacer algo práctico con ellos, aprovechando como mediación los juegos con canicas. Primer encuentro: hacer diagnóstico previo, porque a la hora de trabajar se encontró su bajo conocimiento sobre las operaciones básicas, las cuales sí saben operar con lenguaje matemático, pero que no comprenden bien desde la resolución de problemas.
Sobre la realización de las actividades, es complicado hacer redacción de las preguntas para que sean entendibles según el nivel de comprensión lectora de los estudiantes; así que hay que hablar mucho con ellos para tratar de utilizar sus propias palabras.

En la realización o ejecución de las actividades, hay dos aspectos: las que se hacen de manera oral, y las que tienen que leer y escribir. La parte de seguir instrucciones no presenta ningún inconveniente; se toma el ejemplo sobre entender los movimientos de los subconjuntos de estudiantes que se estaban armando y desarmando paulatinamente.

Pero cuando llegan a escribir en el papel, no encuentran relaciones fuertes entre las actividades y la pregunta que van a responder. Tal vez la metáfora de las actividades guiadas no es clara para ellos, o no está bien diseñada con un nivel para ellos; es decir, se requiere que sea más específica y más directa, y menos que genere un aprendizaje por descubrimiento relacional desde lo metafórico.

En esta foto, la pregunta es ¿Qué ocurre cuando el profesor reúne a un grupo, o pide que se separen de su grupo inicial?, la respuesta original es : "se separaron cuando se dibidir", luego ella borró y dejó como respuesta "se separaron". Tuvo la idea clara, pero en su reflexión sobre lo que vio, no aceptó que había una división involucrada (podría pensar que había una resta). 

La siguiente pregunta era sobre encontrar una relación con los conceptos matemáticos, ella escribió "es una suma", y luego borró esa respuesta correcta. De pronto pensó que la respuesta era tan sencilla que no era correcta. He visto ese caso varias veces en otros contextos.

En la actividad con las canicas, intencionalmente no utilicé el tablero para explicar conceptos de conjunto universal ni conjunto vacío, tratando de que fuera algo de aproximación imaginativa a partir del juego con las bolitas de cristal. Tal vez esta es la causa de que no sepan cómo representar un conjunto pintando canicas, porque la idea que tenían era dibujarlas, y me pedían que les prestara algunas como modelo.

Después, en la actividad con los conjuntos de animales, se debe asignar mejor el nombre de los conjuntos, puesto que la manera en que quedó impreso fue ambiguo para dos agrupaciones. Sobre la imagen utilizada allí, tomada de internet, dio buen resultado para que ellos encontraran el sentido de lo solicitado.

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Cuando los estudiantes tienen que realizar el trabajo en parejas se sienten más tranquilos y confiados; como siempre pasa, a veces uno solo responde sin explicarle al otro, pero cuando encuentra una dificultad, sí se apoyan. Sin embargo, las preguntas valorativas hacen evidente quién manejó y escribió los conceptos.

Se presentó un caso particular, donde un chico contestaba las preguntas orales al grupo rápidamente, y las dos primeras estaban correctas; a la tercera no, y empezó a responder con cualquier opción, sin reflexionar sino adivinando, y esperaba únicamente una aprobación al encontrar la exacta. Aquí, entonces, considero que por eso son mejores las preguntas abiertas, donde tengan que escribir sus razones, para que se puedan encontrar las fallas a los saberes adquiridos desde la enseñanza o desde el aprendizaje.

No se pudo realizar la evaluación prevista por falta de tiempo; es decir, la planeación de las actividades no contempló los diversos tiempos que se requieren en las explicaciones, en organizar las dinámicas, en los momentos de reflexión y los de preguntas, etc. 

En general, los aspectos didácticos han tenido encuentros interesantes porque se evidencia que para cualquier trabajo en clase se necesita un diagnóstico inicial, conocer el proceso y avance del grupo en general, tomando en cuenta los casos particulares. Las actividades se deben desarrollar según los niveles y ritmos del aprendizaje de cada quien, y hay que poner más atención a la manera en que se presentan escritas las guías que se van a desarrollar en clase.

De otra parte, el trabajo en parejas facilita algunas estrategias de aprendizaje, porque se pueden ayudar unos con otros; eso sí, entendiendo que debe haber estrecha colaboración cuando hay diferencias de conocimientos entre las parejas. Además, existe esa necesidad de tener aprobación por parte del maestro en cada respuesta, lo que genera una compentencia interna de los estudiantes por responder varias cosas hasta dar con la solución; entonces hay que manejar estos casos con cuidado, y procurar que no haya tanta felicitación por parte del maestro para que el estudiante no se sienta obligado a recibir recompensas por respuestas correctas.

Aunque no se haya resuelto, con esta pequeña actividad, el problema de la incomprensión de las operaciones básicas, cualquier trabajo que se haga con las y los estudiantes, y se haga una reflexión sobre los encuentros pedagógicos y didácticos, genera una nueva visión sobre la manera en que se pueden mejorar la enseñanza por parte de los maestros, dirigida a generar mejores aprendizajes de sus estudiantes.

Fuentes de las imágenes:
1. Conjuntos: http://es.slideshare.net/MaraLeticiaOjedaPea1/51921059-pruebasdeconjuntosenmatematicasparaprimaria

Sistematización y análisis del ejercicio

Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas

Operaciones de los conjuntos: bases en un contexto social.

En esta sección se presentarán los instrumentos evaluativos de la actividad, las evidencias de la práctica de la enseñanza y del proceso de aprendizaje, junto con reflexiones sobre las situaciones que se presentaron en el aula de clase, y los comentarios y encuentros pedagógicos que se suscitan desde este ejercicio didáctico.

Procesos evaluativos

A continuación se muestran algunas respuestas de las y los estudiantes, plasmadas en las guías utilizadas para las actividades escritas. Fueron más las que se realizaron de forma oral y con dinámicas en el aula, sin embargo, aquí se presentan algunos casos:

Actividad de conformar grupos según características de los estudiantes

Primero una respuesta que involucra todo el proceso realizado con conjuntos, donde encuentra la relación adecuada con las operaciones básicas.

Luego, la respuesta donde duda de su saber, y prefiere borrar:

(la segunda respuesta está borrada; dice: "es una suma")

Ya se había señalado este caso anteriormente, se reitera que falta empoderar más a los estudiantes con su conocimiento; darles esa confianza que han perdido de tanta repetición de los padres y adultos sobre que "la matemática es difícil", y similares, porque no valoran las respuestas sencillas, y se quedan con sus dudas, y dejan al maestro sin saber si no contestaron por falta de tiempo, o por desconocimiento total sobre el tema.

Actividad con los diagramas de Venn, de los animales.

Para estos siguientes casos sobre el concepto de pertenencia a un grupo, mostraremos otras dos respuestas disímiles; una con el concepto entendido, y otra donde muestra la falta de claridad en la realización del formulario para contestar; algo que hay que mejorar.

En este primer caso se puede también intuir que tenía una mejor educación en matemáticas, no es necesariamente que en esta actividad haya comprendido el concepto de pertenencia a un conjunto; también hay que darle crédito a los anteriores maestros de esta persona.

Luego, en las preguntas abiertas, se encuentra afinidad en sus respuestas cuando se refieren a los elementos del conjunto; pero más interesantes, cuando se trata de definir lo que cada quien entendió por intersección. La manera de llevar por inducción al significado, desde las preguntas anteriores, parece que funciona bien.

El segundo estudiante realiza un análisis con respecto a la figura, la primera persona fue más general.

Reflexiones sobre las situaciones que se presentan en el aula:

Como se expresó en secciones anteriores, el grupo venía con un proceso de aula motivado a través de la música; estaban interesados puesto que la mediación permitía realizar otros tipos de actividades como el baile, la improvisación, juegos dinámicos con música, y otro tipo de expresiones artísticas... Sin embargo, cuando se propuso las actividades de matemáticas el ambiente cambió un poco, ya expresado por esa "resistencia a las matemáticas". 

En algunos casos, los estudiantes tienen idealizada en su manera de operar una estructura mental aditiva o multiplicativa, de tal forma que cualquier problema lo solucionan a partir de esas dos instancias, un poco menos con restas y divisiones. Por eso la conclusión que el manejo de conjuntos podrían servir, y de hecho sirven, para la comprensión de las operaciones básicas. 

Se requiere un poco más de tiempo, con actividades mejor estructuradas, más ejercicios en el tablero, porque no hay que quitarle ese poder didáctico que ha servido durante siglos; algo que yo me negué a hacer únicamente en pro de un experimento para este trabajo de aula.

En estos chicos se presenta una dinámica de colaborarse hasta cierto punto con sus problemas; al enfrentar dificultades no permanecen juntos para tratar de solucionarlas; y es una de las causas para que se trate de hacer énfasis en la convivencia y trabajo en grupo con estos estudiantes.

En síntesis, considero que ha sido algo distinto para ellos y para mí como maestro, que estaba en una zona de relativo confort con mis clases de comprensión lectora, y que se manejaba al grupo con algo que realmente disfrutan como es la música. Ha sido un impacto positivo para mí encontrar que la enseñanza en matemáticas requiere un esfuerzo mayor que el que he dado a lo largo de estos años en mis prácticas de lengua castellana; así que entiendo que debo renovar esfuerzos y hacer reflexiones pedagógicas distintas para mejorar en los procesos didácticos con mis estudiantes.

Invito de manera muy atenta a los lectores de este blog a enviarme sus comentarios, para motivar diálogos que generen diferentes dinámicas para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, no solo del tema de conjuntos, con el fin de compartir experiencias y motivar nuevos conocimientos sobre educación, pedagogía y didáctica.

// John Edward González

Bibliografía de consulta para esta práctica de aula:

Bosch, C. (1997). Matemáticas básicas. México: Editorial Limusa.

Chamorro, M. (2003). Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Pearson Education.